Notez toutefois que la plage d`une carte non injective continue peut ne pas être Borel. Commencez par définir une fonction $f: [0,1] à [0,2] $ par $ $f (x) = c (x) + x $ $ où $c: [0,1] à [0,1] $ est la fonction Cantor. Ensuite, de nombreux résultats standard portent sur la situation sans choix dénombrable. Mais c`est impossible puisque $N $ n`est même pas mesurable! Bien sûr, l`axiome (*), il est impossible de faire une analyse. Pour ce faire, il suffit de montrer que pour toute fonction continue $g $ l`ensemble $ $ mathscr{A} = {E: g ^ {-1} (E) text{is Borel} } $ $ est un $ sigma $-algèbre contenant les jeux ouverts. Il y a $2 ^ {aleph_0} $ Borel sous-ensembles. Ce n`est pas possible. Dans le cas où X est un espace métrique, l`algèbre de Borel dans le premier sens peut être décrite de manière générale comme suit. La question de la mesurabilité des «ensembles projectifs» (qui est une classe plus grande que les ensembles analytiques) est étudiée en détail par des théoriciens de décors descriptifs. Vous avez juste besoin des bonnes définitions.

Pour plus de détails, voir la théorie du jeu descriptif et le livre de Kechris, en particulier l`exercice (27. Sans choix dénombrable, il est logique de travailler avec des ensembles de Borel codables au lieu des ensembles standard de Borel. Analyse réelle (4ED) par Royden, section 2. Il y a certainement des sous-ensembles explicitement constructibles des réals qui ne sont pas codables Borel. Quelques livres qui ont plus d`information sont: la théorie de Set par Hausdorff, topologie générale par Sierquille, topologie (vol 1) par Kuratowski, la théorie de jeu descriptive classique par Kechris, et la théorie de Set par jech. Une façon de construire des exemples explicites de jeux de Borel non codables est de construire un ensemble analytique dont le complément n`est pas analytique. Les ensembles analytiques peuvent être définis pour être des images continues de la ligne réelle. Notre objectif pour aujourd`hui est de construire un ensemble mesurable de Lebesgue qui n`est pas un ensemble de Borel. Ils sont en général une sous-collection des ensembles de Borel. Les unions et les intersections des «séquences codables» des ensembles de Borel codables sont elles-mêmes des ensembles de Borel codables. Il ya d`autres plus difficiles à décrire des exemples qui font bien. Par conséquent, il existe certainement des sous-ensembles de $ mathbb{R} $ qui ne sont pas Borel.

Compte tenu d`une variable aléatoire réelle définie sur un espace de probabilité, sa distribution de probabilité est par définition aussi une mesure sur l`algèbre de Borel. Un tel ensemble existe parce que la mesure de Lebesgue est l`achèvement de la mesure de Borel. En utilisant la notion de «jeux analytiques» (et de jeux de co-analyse), on peut définir de manière explicite un exemple spécifique d`un ensemble mesurable non-Borel. L`ensemble de chanteurs a la mesure zéro et est uncountable. Pour voir qu`il n`y a que le continuum de nombreux ensembles Borel, on peut penser à la façon dont les ensembles Borel sont construits. Comme $N sous-ensemble f (mathscr{C}) $, nous savons que $f ^ {-1} (N) sous-ensemble mathscr{C} $ est mesurable (et a la mesure zéro) puisqu`il s`agit d`un sous-ensemble d`un ensemble zéro et que la mesure Lebesgue est terminée. L`exemple de Lusin (lié à la question) s`insère dans cette méthode, bien que je ne suis pas sûr si elle fonctionne toujours sans choix. L`algèbre de Borel sur les réals est la plus petite algèbre σ sur R qui contient tous les intervalles. De là, il s`ensuit que tous les ensembles de réals sont Borel. Les arguments de joel devraient mener à la situation sans choix dénombrable. En particulier, la complémentation des sets mappe GM en elle-même pour toute limite ordinale m; en outre, si m est une limite innombrables ordinale, GM est fermé sous les unions dénombrables. Exercice (3.